Géométrie : Pythagore, Thalès, Trigonométrie
Les 3 théorèmes incontournables du Brevet. Maîtrise-les et tu assures 20 à 30 points.
Théorème de Pythagore
Calculer une longueur dans un triangle rectangle
📐 Énoncé du théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
BC² = AB² + AC²
où BC est l'hypoténuse (le plus grand côté, face à l'angle droit)
🎨 Figure
L'hypoténuse BC est toujours face à l'angle droit
🎯 Quand et comment l'utiliser ?
✅ Utilise Pythagore si :
- • Tu as un triangle rectangle
- • Tu connais 2 côtés et tu cherches le 3ème
- • On te demande de calculer une longueur
❌ N'utilise PAS Pythagore si :
- • Le triangle n'est pas rectangle
- • Tu cherches un angle (→ utilise trigo)
- • Tu as des droites parallèles (→ utilise Thalès)
📝 Exercice 1 : Calculer l'hypoténuse
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Calcule BC.
📝 Exercice 2 : Calculer un côté de l'angle droit
DEF est un triangle rectangle en D. On donne EF = 13 cm et DE = 5 cm.
Calcule DF.
📝 Exercice 3 : Prouver qu'un triangle est rectangle (réciproque)
GHI est un triangle tel que GH = 15 cm, HI = 9 cm et GI = 12 cm.
Le triangle GHI est-il rectangle ?
⚠️ Erreurs fréquentes au Brevet
- ❌Se tromper d'hypoténuse : c'est TOUJOURS le plus grand côté, face à l'angle droit.
- ❌Oublier la racine carrée : BC² = 100 donc BC = √100 = 10, pas BC = 100 !
- ❌Confondre théorème et réciproque : le théorème calcule, la réciproque prouve qu'un triangle est rectangle.
Théorème de Thalès
Calculer une longueur avec des droites parallèles
📐 Énoncé du théorème
Si deux droites sont parallèles, alors elles découpent des segments proportionnels sur deux sécantes.
Si (BC) // (DE), alors :
AB/AD = AC/AE = BC/DE
🎨 Configuration "papillon"
📝 Exercice 1 : Calculer une longueur
Sur la figure ci-dessus, (BC) // (DE).
On donne : AB = 4 cm, AD = 10 cm, AC = 3 cm.
Calcule AE.
📝 Exercice 2 : Vérifier si des droites sont parallèles
On donne : AB = 2 cm, AD = 5 cm, AC = 3 cm, AE = 7,5 cm.
Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?
💡 Astuce pour ne jamais se tromper
Écris toujours tes rapports dans le même ordre :
petit / grand = petit / grand
Exemple : AB/AD (petit/grand sur une sécante) = AC/AE (petit/grand sur l'autre sécante)
Trigonométrie
Calculer un angle ou un côté avec cos, sin, tan
📐 Les 3 formules à connaître PAR CŒUR
cos
cos(α) = adjacent / hypoténuse
CAH
sin
sin(α) = opposé / hypoténuse
SOH
tan
tan(α) = opposé / adjacent
TOA
🎯 Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA
🎨 Identifier les côtés
Hypoténuse : face à l'angle droit (le plus grand)
Opposé : face à l'angle α (ne touche pas l'angle)
Adjacent : touche l'angle α (mais pas l'hypoténuse)
📊 Valeurs remarquables (à connaître !)
| Angle | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| cos | √3/2 ≈ 0,87 | √2/2 ≈ 0,71 | 1/2 = 0,5 |
| sin | 1/2 = 0,5 | √2/2 ≈ 0,71 | √3/2 ≈ 0,87 |
| tan | √3/3 ≈ 0,58 | 1 | √3 ≈ 1,73 |
📝 Exercice : Calculer un angle
ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm et BC = 10 cm.
Calcule l'angle Ĉ (en B).
💡 Comment choisir entre cos, sin et tan ?
Regarde quels côtés tu as :
- cos→ tu as l'adjacent et l'hypoténuse
- sin→ tu as l'opposé et l'hypoténuse
- tan→ tu as l'opposé et l'adjacent (pas d'hypoténuse)
Mini-Quiz Rapide
3 questions pour vérifier que tu as compris
1️⃣ ABC est rectangle en B. Quelle est l'hypoténuse ?
2️⃣ Pour utiliser Thalès, il faut des droites...
3️⃣ sin(30°) = ?
🎯 Récap : Quel théorème utiliser ?
Pythagore
Triangle rectangle + tu cherches une longueur + tu connais 2 côtés
Thalès
Droites parallèles + tu cherches une longueur avec des rapports
Trigonométrie
Triangle rectangle + tu cherches un angle (ou un côté avec un angle)
