Calcul Numérique & Littéral
Identités remarquables, équations, puissances — Le socle du Brevet. Maîtrise ces outils et tu assures sur tous les exercices.
Les 3 Identités Remarquables
Développer et factoriser en un clin d'œil
📐 Les 3 formules à connaître PAR CŒUR
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
🎨 Visualisation de (a + b)²
(a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
🎯 Quand et comment utiliser ?
✅ Utilise les identités pour :
- • Développer une expression avec un carré
- • Factoriser (sens inverse)
- • Calcul mental : 101² = (100+1)²
❌ ERREUR N°1 au Brevet :
- • (a+b)² ≠ a² + b²
- • Il manque le double produit 2ab !
- • Le carré d'une somme = 3 termes
📝 Exercice 1 : Développer
Développe et réduis : (3x + 5)²
📝 Exercice 2 : Factoriser
Factorise : x² - 16
📝 Exercice 3 : Calcul mental
Calcule 99² sans calculatrice.
⚠️ Erreurs fréquentes au Brevet
- ❌(a+b)² = a² + b² → FAUX ! Il manque le double produit 2ab
- ❌(a-b)² = a² - b² → FAUX ! C'est a² - 2ab + b². La différence de carrés c'est (a+b)(a-b)
- ❌(3x)² = 3x² → FAUX ! (3x)² = 9x²
💡 Astuce
"Le carré d'une somme, c'est toujours 3 termes. Si t'en as que 2, t'as oublié le double produit !"
Équation du 1er degré
Trouver l'inconnue x
📐 Forme générale
ax + b = 0 → x = -b/a
(avec a ≠ 0)
📋 Méthode pas à pas
- 1Regrouper les x d'un côté, les nombres de l'autre
- 2Réduire chaque côté
- 3Diviser par le coefficient de x
- 4Vérifier en remplaçant
📝 Exercice 1 : Équation basique
Résous : 3x + 7 = 22
📝 Exercice 2 : Avec x des deux côtés
Résous : 5x - 3 = 2x + 9
📝 Exercice 3 : Type Brevet (mise en équation)
Le triple d'un nombre diminué de 8 est égal à son double augmenté de 5.
Quel est ce nombre ?
⚠️ Erreurs fréquentes
- ❌Oublier de changer le signe quand on passe de l'autre côté
- ❌Mal distribuer le moins : -(2x + 3) = -2x - 3 (pas -2x + 3)
- ❌Diviser qu'un seul terme : (6x + 12)/3 = 2x + 4 (pas 2x + 12)
Produit nul
Résoudre une équation factorisée
📐 La règle du produit nul
Si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0
🎯 Quand utiliser ?
✅ Utilise le produit nul si :
- • L'équation est factorisée
- • Le produit est égal à ZÉRO
❌ NE marche PAS si :
- • Le produit n'est pas égal à 0
- • (x-3)(x+2) = 5 → ON NE PEUT PAS dire x-3=5
📝 Exercice 1 : Direct
Résous : (x - 5)(x + 2) = 0
📝 Exercice 2 : Avec factorisation préalable
Résous : x² - 9 = 0
Puissances
Simplifier les expressions avec exposants
📐 Les 5 règles des puissances
aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
Même base → on additionne
aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
Même base → on soustrait
(aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ
Puissance de puissance → on multiplie
a⁰ = 1
(pour a ≠ 0)
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Exposant négatif → inverse
📝 Exercices rapides
1. Simplifie : 10³ × 10⁵
2. Simplifie : (2³)⁴
3. Simplifie : 10⁷ / 10³
⚠️ Erreurs fréquentes
- ❌10³ × 10⁵ = 10¹⁵ → FAUX ! On additionne les exposants : 10⁸
- ❌a⁰ = 0 → FAUX ! a⁰ = 1 (toujours !)
- ❌2³ = 6 → FAUX ! 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
Racine carrée
Simplifier les racines
📐 Propriétés des racines carrées
√(a×b) = √a × √b
√(a/b) = √a / √b
(√a)² = a
√(a+b) ≠ √a + √b
⚠️ PIÈGE CLASSIQUE
📝 Exercice 1 : Simplifier une racine
Simplifie : √75
📝 Exercice 2 : Additionner des racines
Simplifie : √48 + √12
⚠️ ERREUR N°1 au Brevet
❌ √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7
→ FAUX !
✅ √(9 + 16) = √25 = 5 ≠ 7
Retiens : On ne peut PAS séparer une racine de somme !
Fractions
Les 4 opérations sur les fractions
📐 Les règles de calcul
Addition (même dénominateur) :
a/b + c/b = (a+c)/b
Addition (dénominateurs différents) :
a/b + c/d = (ad + bc) / bd
Multiplication :
a/b × c/d = ac / bd
Division :
a/b ÷ c/d = a/b × d/c
📝 Exercices
1. Addition : Calcule 2/3 + 3/4
2. Multiplication : Calcule 5/7 × 14/15
3. Division : Calcule 3/5 ÷ 9/10
⚠️ Erreur fréquente
❌ 1/3 + 1/4 = 2/7 → FAUX ! On n'additionne JAMAIS les dénominateurs.
✅ 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Mini-Quiz Rapide
3 questions pour vérifier que tu as compris
1️⃣ Développe (a + b)². Combien de termes obtiens-tu ?
2️⃣ Que vaut a⁰ (avec a ≠ 0) ?
3️⃣ Factorise x² - 25
🎯 Récap : Quel outil utiliser ?
Identités remarquables
Développer/factoriser avec un carré
Équation 1er degré
Trouver une valeur inconnue x
Produit nul
Résoudre après factorisation (= 0)
Puissances
Simplifier des expressions avec exposants
Racine carrée
Simplifier des racines, Pythagore
Fractions
Calculs avec des quotients
